class: center, middle, inverse, title-slide # 答疑 ## 关于3.4.3到期收益率与各期折现率关系折现率的疑惑 ### 金融学院 吴燕丰 ### 2020/04/03 --- ### 非加权平均 `$$\begin{align} P &= \frac{C_1}{(1+S_1)} + \frac{C_2}{(1+C_2)^2} + \frac{C_3+M}{(1+S_3)^3} \\ &= \frac{C_1}{(1+y)} + \frac{C_2}{(1+y)^2} + \frac{C_3+M}{(1+y)^3} \end{align}$$` 在例子中 `\(S_1=5\%, S_2=6\%, S_3=7\%\)` , `\(C_1=C_2=C_3=5, M=100\)` 。关于 `\(y\)` 这是一个三次方程,比如, 在方程两边都乘以 `\((1+y)^3\)` ,得 `$$\begin{align} & \left[\frac{C_1}{(1+S_1)} + \frac{C_2}{(1+C_2)^2} + \frac{C_3+M}{(1+S_3)^3} \right]\times (1+y)^3 \\ &=\\ &C_1(1+y)^2 + C_2(1+y) + (C_3+M) \end{align}$$` 一元三次方程的根,不是一个线性加权的式子,也即是说 `\(y\)` 不是 `\(S_1, S_2, S_3\)` 的线性加权。 --- ### 但更接近7% 但是, `\(y\)` 更加接近 `\(S_3\)` 。为方便解释,设 $$ f(y) = \frac{C_1}{(1+y)} + \frac{C_2}{(1+y)^2} + \frac{C_3+M}{(1+y)^3} - P $$ 其中 $$ P=\frac{C_1}{(1+S_1)} + \frac{C_2}{(1+S_2)^2} + \frac{C_3+M}{(1+S_3)^3} $$ 当 `\(y=S_1, S_2, S_3\)` 时分别有, `$$\begin{align} f(S_1) &= \frac{5}{(1+S_1)^2} + \frac{5+100}{(1+S_1)^3} - \frac{5}{(1+S_2)^2} - \frac{5+100}{(1+S_3)^3}\\ f(S_2) &= \frac{5}{(1+S_2)} + \frac{5 +100}{(1+S_2)^3} - \frac{5}{(1+S_1)} - \frac{5+100}{(1+S_3)^3}\\ f(S_3) &= \frac{5}{(1+S_3)} + \frac{5}{(1+S_3)^2} - \frac{5}{(1+S_1)} - \frac{5}{(1+C_2)^2} \end{align}$$` 这三者 `\(f(S_3)\)` 中没有比较大的数字100,粗略一看可知 `\(f(S_3)\)` 比其他两者更接近0,也意味着 `\(S_3\)` 更接近方程 `\(f(y)=0\)` 的根 `\(y\)` 。 --- <img src="bond_price_and_term_structure_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> 从图中,可以看出方程 `\(f(x) =0\)` 的解(用y表示), 更接近于7%。